https://www.facebook.com/groups/laptrinh.IT/permalink/2860312453987361/
Tôi sẽ mở một chuỗi bài nói về ứng dụng của toán học hiện đại trong IT và CS. Các bạn có thắc mắc, ví dụ như kiến thức xxx dùng để làm gì trong tin học, có thể comment, tôi sẽ trả lời.
Bài viết trước, tôi đã viết về ứng dụng của đại số tuyến tính trong việc lập trình. Ngoài trừ việc Copypaste thông tin từ DB ra, người ta cần phải xử lý các bộ dữ liệu, hiển nhiên sẽ cần phải sử dụng tới linear algebra.
Hôm nay, tôi sẽ đề cập tới môn giải tích hàm, là một môn được đào tạo trong khoa toán. Tôi không biết ở VN mình thì các bạn IT và CS có được học hay không, nhưng tôi tin các nghiên cứu sinh về CS đều không ít thì nhiều va chạm với nó.
Giải tích hàm (functional analysis) là việc nghiên cứu các không gian hàm, và các không gian này nói chung là vô hạn chiều. Thực tế, trên đời không có khái niệm không gian vô hạn chiều, chỉ có khái niệm số chiều cực kì lớn, nên giải tích hàm có thể coi là đại số tuyến tính cho trường hợp không gian vô hạn (cực lớn) chiều. Bất cứ khi nào phải đụng chạm tới số chiều cực lớn, đó là nơi mà functional analysis ngự trị.
Đóng vai trò trung tâm của functional analysis là không gian định chuẩn (và Banach), cùng với các ánh xạ tuyến tính giữa chúng. Nói đơn giản, không gian định chuẩn có thể coi là suy rộng của Rn và ánh xạ tuyến tính có thể coi như là ma trận, cho trường hợp vô hạn chiều.
Khi ta xét một không gian định chuẩn, ta có thể thấy ngay từ định nghĩa, đó là khái niệm chuẩn, còn gọi là khoảng cách. Ví dụ, ta cho hai tín hiệu số, hoặc hai bộ dữ liệu, câu hỏi cơ bản đặt ra, là khi nào hai bộ dữ liệu này gần giống nhau.
Nói đến đây, các bạn có thể thấy, ứng dụng cuản nó ra sao khi truyền thông tin trên mạng interrnet, một dữ liệu có thể bị nhiễu. Vậy làm sao khi ta biết, độ nhiễu là đủ lớn? Hiển nhiên, là ta xác định một khoảng cách giữa hai tín hiệu. Tuỳ vào khía cạnh mà ta muốn nhấn vào, thì khái niệm khoảng cách cũng được định nghĩa tương ứng.
Ta lấy một ví dụ thứ hai,Cho một tín hiệu, một dữ liệu, làm sao ta biết nó là thuộc loại A hay loại B. Ví dụ, cho ảnh chụp một loại quả, làm sao ta biết nó là quả cam hay táo? Rõ ràng, là ta phải xác định khoảng cách nó tới các tập dữ liệu mẫu, và đó là nơi mà giải tích hàm xuất hiện.
https://en.wikipedia.org/wiki/Jensen%E2%80%93Shannon_divergence
Tất nhiên, trên thực tế, ta phải có hai bộ dữ liệu đã được định sẵn, sau đó ta mới thiết lập các tham số tương ứng để hiệu chỉnh hàm khoảng cách cho hợp với thực tế. Người ta gọi cái này là mạng CNN.
Ví dụ tiếp theo, tôi tin nhiều người đã biết, khi học về điện tử. Ta cho một tín hiệu sóng, và ta phân tích nó trở thành các sóng cơ bản, còn gọi là biến đổi fourrier. Bản chất của nói, là phân tích một vector thành nhiều thành phần thông qua phép chiếu vuông góc y như trong đại số tuyến tính (hilbert space).
Vì vậy, tôi không tin rằng các bạn học IT và CS trong cách lãnh vực đan xen với điện tử có thể bỏ qua.
Một ví dụ tiếp theo, là lý thuyết xấp xỉ. Hiển nhiên một điều, ta không thể nào tính toán chính xác tất cả các thứ, mà phải tính xấp xỉ. Một phương trình vi phân, đa phần không thể giải được chính xác, và phải sử dụng các phương pháp khác nhau để tính xấp xỉ, và do đó mới có thể sử dụng máy tính để tính toán.
Hiển nhiên, giữa nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ, luôn có sai số, và do đó ta phải dùng giải tích hàm để đo đạc sự chính xác của nghiệm gần đúng. Và do đó, ứng dụng của giải tích hàm trong việc giải phương trình vi phân xuất hiện.
Hiển nhiên, phương trình vi phân là một lãnh vực toán học mà tác động lớn nhất tới cuộc sống. Một đối tượng bất kỳ đều chịu tác động của một đối tượng khác, và lực tác động này thay đổi theo thời gian, và do đó xuất hiện trong mọi lãnh vực từ kinh tế, tài chính, tài chính định lượng, cơ học... Trừ khi bạn cả đời chỉ có làm website bán hàng, còn việc sử dụng code để mô tả các đối tượng biến động theo thời gian phải sử dụng tới phương trình vi phân.
Có những phương trình vi phân có nghiệm, nhưng không phải là dạng cổ điển, mà chỉ tồn tại trong các không gian sobolev, và do đó phải sử dụng giải tích hàm để tính toán.
http://www-personal.acfr.usyd.edu.au/spns/cdm/resources/Kreyszig%20-%20Introductory%20Functional%20Analysis%20with%20Applications.pdf
xin lỗi, tôi không đọc sách tiếng việt bao giờ.
(còn tiếp)
No comments:
Post a Comment